📚 Đề thi tham khảo
Giải chi tiết
Các Đề Thi Trước Đó
Tuyển tập 3 đề thi Giữa kỳ xuất hiện nhiều dạng bài tiêu biểu nhất từ 2019-2024, kèm theo lời giải và mẹo phân tích.
Đề thi Giữa kỳ Học kỳ II, 2023-2024 (Ngày 15/4/2024)
1
Logic - Mệnh đề, Suy diễn, Lượng từ
3.0 điểm
Câu 1a. Chứng minh tương đương (1.0 đ)
Hãy dùng các luật logic để chứng minh:
$$(p \to q) \land [\bar{q} \land (q \to r)] \Leftrightarrow \overline{q \lor p}$$
Bài giải
VT $\Leftrightarrow (\bar{p} \lor q) \land [\bar{q} \land (\bar{q} \lor r)]$Kéo theo
$\Leftrightarrow (\bar{p} \lor q) \land \bar{q}$Hấp thụ cho $[\bar{q} \land (\bar{q} \lor r)] \Leftrightarrow \bar{q}$
$\Leftrightarrow (\bar{p} \land \bar{q}) \lor (q \land \bar{q})$Phân phối
$\Leftrightarrow (\bar{p} \land \bar{q}) \lor \mathbf{F}$Phần tử bù
$\Leftrightarrow \bar{p} \land \bar{q}$Trung hòa
$\Leftrightarrow \overline{p \lor q}$ (đpcm) □De Morgan
Câu 1b. Suy diễn logic (1.0 đ)
Kiểm tra tính đúng đắn:
$$p \to q$$
$$\bar{r} \lor s$$
$$p \lor r$$
$$\therefore q \lor s$$
Bài giải
(1) $p \to q$Tiền đề
(2) $\bar{r} \lor s \Leftrightarrow r \to s$Tiền đề + Kéo theo
(3) $p \lor r$Tiền đề
(4) $q \lor s$Quy tắc Tam đoạn luận tiến thoái 2 cho (1), (2), (3)
Vậy suy luận đã cho là hợp lệ □Kết luận
*Lưu ý: Tam đoạn luận phiền toán 2 (Constructive dilemma):
$(p \to q) \land (r \to s) \land (p \lor r) \implies q \lor s$. Hoặc có thể dùng luật phân giải (Resolution) nhiều bước.
$(p \to q) \land (r \to s) \land (p \lor r) \implies q \lor s$. Hoặc có thể dùng luật phân giải (Resolution) nhiều bước.
Câu 1c. Vị từ (1.0 đ)
Chân trị và phủ định của:
$$A = "\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, [(2x - y) \neq 6] \to (5x^2y < 3)"$$
Bài giải
Phủ định: $\bar{A} = "\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, [(2x - y) \neq 6] \land (5x^2y \ge 3)"$Phủ định lượng từ & Kéo theo
Chân trị: Xét $\bar{A}$, chọn $x = 0$. Khi đó $5x^2y = 0 \not\ge 3$ với mọi $y \in \mathbb{R}$.
Do đó $\bar{A}$ sai với $x=0$. Thực tế, với một $x$ bất kỳ, nếu chọn $y$ sao cho $y \le 0$ thì $5x^2y \le 0 < 3$, nên không tồn tại $x$ nào thỏa mãn với MỌI $y$ thì $5x^2y \ge 3$.
$\Rightarrow \bar{A}$ sai $\Rightarrow A$ là Đúng □Kết luận
2
Nguyên lý Dirichlet
1.0 điểm
Câu hỏi
Cần phải tung một con xúc sắc tối thiểu bao nhiêu lần để có một mặt nào đó xuất hiện ít nhất là 5 lần?
Bài giải
Gọi chuồng (lồng) là các mặt của xúc sắc $\Rightarrow k = 6$ (chuồng).Xác định k
Gọi thỏ (vật) là số lần tung xúc sắc $\Rightarrow n$ (thỏ).Xác định n
Đề bài yêu cầu tìm $n$ nhỏ nhất để có mặt xuất hiện ít nhất 5 lần $\implies m = 5$.Xác định m
Theo nguyên lý Dirichlet: $n_{min} = k(m-1) + 1$Áp dụng công thức
$n_{min} = 6 \times (5 - 1) + 1 = 6 \times 4 + 1 = 25$Tính toán
Vậy cần tung tối thiểu 25 lần □Kết luận
3
Tổ hợp lặp
2.0 điểm
Câu hỏi
Chia $n$ viên kẹo giống nhau cho 3 em bé sao cho em bé nào cũng có kẹo.
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu viên kẹo nếu ta có tổng cộng 120 cách chia?
b) Với số kẹo tìm được ở câu a, hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo sao cho em bé nào cũng có kẹo và em bé thứ hai có nhiều nhất 6 viên?
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu viên kẹo nếu ta có tổng cộng 120 cách chia?
b) Với số kẹo tìm được ở câu a, hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo sao cho em bé nào cũng có kẹo và em bé thứ hai có nhiều nhất 6 viên?
Bài giải a
Gọi $x_i$ là số kẹo cho em bé thứ $i$ ($i = 1,2,3$).Lập hệ PT
Ta có phuơng trình: $x_1 + x_2 + x_3 = n$ với $x_i \ge 1$.
Đặt $y_i = x_i - 1 \ge 0$, ta được: $y_1 + y_2 + y_3 = n - 3$.Đổi biến
Số nghiệm của phương trình là $\bar{C}_3^{n-3} = C_{3 + (n-3) - 1}^{n-3} = C_{n-1}^{n-3} = C_{n-1}^2$.CT Tổ hợp lặp
Theo đề bài, có 120 cách chia $\Rightarrow C_{n-1}^2 = 120 \Leftrightarrow \frac{(n-1)(n-2)}{2} = 120$.
$\Leftrightarrow n^2 - 3n - 238 = 0 \Leftrightarrow n = 17$ (nhận) hoặc $n = -14$ (loại).
Vậy $n = 17$ viên kẹo □Kết quả 3a
Bài giải b
Với $n = 17$, PT: $x_1 + x_2 + x_3 = 17$ với thỏa mãn $x_1, x_3 \ge 1$ và $1 \le x_2 \le 6$.Xác định ĐK
Gọi $S$ là tập các cách chia với $x_1, x_2, x_3 \ge 1 \Rightarrow |S| = 120$ (theo câu a).
Gọi $A$ là tập các cách chia vi phạm điều kiện $x_2 \le 6$, tức là $x_2 \ge 7$.Phần bù
Tính $|A|$: Xét PT $x_1 + x_2 + x_3 = 17$ với $x_1, x_3 \ge 1, x_2 \ge 7$.
Đặt ẩn phụ $y_1=x_1-1 \ge 0$, $y_2=x_2-7 \ge 0$, $y_3=x_3-1 \ge 0$.Đổi biến cho A
PT mới: $y_1 + y_2 + y_3 = 17 - 1 - 7 - 1 = 8$. Số nghiệm là $\bar{C}_3^8 = C_{10}^8 = 45$.
Số cách chia thõa mãn là $|S| - |A| = 120 - 45 = 75$ cách □Kết quả 3b
4
Quan hệ Tương đương
2.0 điểm
Câu hỏi
Trên tập hợp $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, cho quan hệ hai ngôi R như sau:
$$\forall x, y \in X, xRy \Leftrightarrow (3x + 2y) \vdots 5$$
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên X.
b) Biểu diễn sự phân hoạch của X bởi các lớp tương đương theo quan hệ R.
$$\forall x, y \in X, xRy \Leftrightarrow (3x + 2y) \vdots 5$$
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên X.
b) Biểu diễn sự phân hoạch của X bởi các lớp tương đương theo quan hệ R.
Bài giải a
Nhận xét: $(3x + 2y) = 5x - 2x + 2y = 5x - 2(x - y)$. Do $5x \vdots 5$ nên $(3x+2y) \vdots 5 \Leftrightarrow -2(x-y) \vdots 5 \Leftrightarrow (x-y) \vdots 5$ (vì $ƯCLN(2,5)=1$).Rút gọn Q/hệ
Vậy $xRy \Leftrightarrow x \equiv y \pmod 5$. (TRICK) Từ đây CMR dễ dàng hơn!
1. Phản xạ: Với mọi $x \in X$, $x - x = 0 \vdots 5 \Rightarrow xRx$.Phản xạ
2. Đối xứng: $\forall x, y \in X$, nếu $xRy \Rightarrow (x-y) \vdots 5 \Rightarrow -(x-y) \vdots 5 \Rightarrow (y-x) \vdots 5 \Rightarrow yRx$.Đối xứng
3. Bắc cầu: $\forall x, y, z \in X$, nếu $xRy$ và $yRz \Rightarrow (x-y) \vdots 5$ và $(y-z) \vdots 5$.Bắc cầu
Ta có: $(x-z) = (x-y) + (y-z) \vdots 5 \Rightarrow xRz$.
Tóm lại, R có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên R là quan hệ tương đương □Kết luận 4a
Bài giải b
Lớp tương đương $[a]$ gồm các phần tử $x \in X$ sao cho $x \equiv a \pmod 5$. Có các lớp:
$[1] = \{x \in X \mid x \equiv 1 \pmod 5\} = \{1, 6\}$
$[2] = \{x \in X \mid x \equiv 2 \pmod 5\} = \{2, 7\}$
$[3] = \{x \in X \mid x \equiv 3 \pmod 5\} = \{3, 8\}$
$[4] = \{x \in X \mid x \equiv 4 \pmod 5\} = \{4, 9\}$
$[5] = \{x \in X \mid x \equiv 5 \equiv 0 \pmod 5\} = \{5, 10\}$
Tập thương $X/R = \{[1], [2], [3], [4], [5]\}$ tạo thành phân hoạch của tập X □Kết luận 4b
5
Quan hệ Thứ tự & Biểu đồ Hasse
2.0 điểm
Câu hỏi
Trên tập hợp $X = \{a, b, c, d, e\}$, cho quan hệ thứ tự R như sau:
$$R = \{(a,a); (b,d); (b,b); (c,c); (a,e); (d,d); (d,e); (e,e); (b,a); (b,e)\}$$
a) Quan hệ thứ tự R có toàn phần không? Vì sao?
b) Vẽ biểu đồ Hasse cho $(X, R)$.
c) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của X theo quan hệ R.
$$R = \{(a,a); (b,d); (b,b); (c,c); (a,e); (d,d); (d,e); (e,e); (b,a); (b,e)\}$$
a) Quan hệ thứ tự R có toàn phần không? Vì sao?
b) Vẽ biểu đồ Hasse cho $(X, R)$.
c) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của X theo quan hệ R.
Bài giải a
Quan hệ R không phải là quan hệ thứ tự toàn phần.Trả lời T/phần
Bởi vì có tồn tại các cặp phần tử vô ước (không so sánh được). Ví dụ: $c$ không có quan hệ với bất kì phần tử nào $\Rightarrow$ ta không có $(c, a)$ và cũng không có $(a, c)$ thuộc R □Giải thích
Bài giải b & c
Bước 1: Tìm các cặp bao phủBao phủ
Từ R, loại bỏ các cạnh phản xạ $(x,x)$ và cạnh bắc cầu $(b,e)$ vì $bRa$ và $aRe$. Cạnh bắc cầu $(b,e)$ cần loại khi vẽ Hasse.
Các cặp bao phủ (cạnh Hasse) là: $(b, a), (a, e), (b, d), (d, e)$.
Phần tử $c$ cô lập.
Phần tử $c$ cô lập.
Bước 2: Vẽ biểu đồ Hasse
Bước 3: Xác định phần tử cực trịTối đại/tiểu
- Tối tiểu (không nằm trên phần tử nào): $\{b, c\}$
- Tối đại (không nằm dưới phần tử nào): $\{e, c\}$
- Nhỏ nhất / Lớn nhất: Không tồn tại (Vì có nhiều hơn 1 tối đại/tối tiểu) □Min/Max
Đề thi HK2 20-21 & HK1 19-20
Các đề này bạn hãy tự làm như bài tập rèn luyện. Lời giải mẫu có cấu trúc tương tự Đề HK2 23-24 ở trên. Các bẫy cần lưu ý đã được hệ thống trong trang Phụ lục.
[Đã tải phần tóm tắt cho 2 đề còn lại, sẽ được cập nhật hoàn thiện lời giải chi tiết sau]
Đề thi HK1 2019-2020
Đây là đề căn bản. Hãy áp dụng thuần thục các Template ở trang lý thuyết.