📊 Câu 5 · 2 điểm

Quan hệ Thứ tự
& Biểu đồ Hasse

Hình vẽ chiếm 50% số điểm câu này. Quy trình: Kiểm tra tính chất → Liệt kê quan hệ bao phủ → Vẽ Hasse → Tìm phần tử cực trị.

Định nghĩa: Quan hệ thứ tự

≤

Quan hệ thứ tự (bán phần)

Phải thỏa ĐỒNG THỜI cả 3 tính chất

🔁
Phản xạ
$\forall x: xRx$

🚫↔️
Phản xứng
$xRy \land yRx \Rightarrow x=y$

➡️
Bắc cầu
$xRy \land yRz \Rightarrow xRz$

🚫

Bẫy: Phản xứng ≠ Không đối xứng

Đối xứng: $xRy \Rightarrow yRx$
Phản xứng: $xRy \land yRx \Rightarrow x=y$
Một quan hệ có thể vừa đối xứng vừa phản xứng (quan hệ $=$)!

Phân loại thứ tự

1/2

Thứ tự bán phần (Poset)

Không nhất thiết mọi cặp đều so sánh được

Ví dụ: Quan hệ chia hết $\mid$ trên $\{1,2,3,4,6\}$. Không thể so sánh $2$ và $3$.

Thứ tự toàn phần

Mọi cặp phần tử đều so sánh được

Ví dụ: Quan hệ $\leq$ trên $\mathbb{Z}$ — mọi hai số nguyên đều so sánh được.

Quan hệ bao phủ & Biểu đồ Hasse

🔺

Quan hệ bao phủ (Cover relation)

$y$ bao phủ $x$ (ký hiệu $x \prec y$) nếu: $xRy$, $x \neq y$, và không tồn tại $z$ "ở giữa" ($x \neq z \neq y$, $xRz$, $zRy$).

💡

Biểu đồ Hasse chỉ vẽ các cặp bao phủ!

Bỏ qua: cạnh phản xạ (từ x đến chính x), cạnh bắc cầu (dư thừa).
Hướng: phần tử lớn hơn vẽ trên cao, phần tử nhỏ hơn vẽ bên dưới. Mũi tên bị ẩn đi (ngầm hiểu hướng từ dưới lên).

📊 Ví dụ Hasse: Quan hệ chia hết trên $\{1,2,3,4,6,12\}$

Phần tử nhỏ nhất (Min)

Phần tử lớn nhất (Max)

Quan hệ bao phủ

Các cặp bao phủ	Giải thích
$1 \prec 2$ và $1 \prec 3$	1 \| 2 và 1 \| 3, không có z giữa
$2 \prec 4$ và $2 \prec 6$	2 \| 4 (không qua trung gian), 2 \| 6
$3 \prec 6$	3 \| 6, không có z với 3\|z và z\|6 khác 3,6
$4 \prec 12$ và $6 \prec 12$	4\|12 và 6\|12, đây là bao phủ
Không vẽ: $1 \prec 4$, $1 \prec 6$, $1 \prec 12$...	Đây là cạnh bắc cầu, bị loại bỏ!

Phần tử cực trị — Định nghĩa & Cách tìm

Tên	Định nghĩa	Trên Hasse	Ví dụ trên $D_{12}$
Tối tiểu (Minimal)	$\nexists y \neq x$ sao cho $yRx$	Không có đỉnh nào bên dưới	$\{1\}$
Tối đại (Maximal)	$\nexists y \neq x$ sao cho $xRy$	Không có đỉnh nào bên trên	$\{12\}$
Nhỏ nhất (Min)	$xRy$ với mọi $y \in A$	Duy nhất, dưới cùng, nối được đến tất cả	$1$
Lớn nhất (Max)	$yRx$ với mọi $y \in A$	Duy nhất, trên cùng, tất cả đến được	$12$

⚡ Trick tìm cực trị trên Hasse

Tối tiểu: Những đỉnh KHÔNG CÓ CẠNh nào chỉ xuống (không ai ở dưới mình).
Tối đại: Những đỉnh KHÔNG CÓ CẠNH nào chỉ lên (không ai ở trên mình).
Nhỏ nhất: Chỉ tồn tại khi có đúng 1 tối tiểu → đó chính là phần tử nhỏ nhất.
Lớn nhất: Chỉ tồn tại khi có đúng 1 tối đại → đó chính là phần tử lớn nhất.
Nếu có ≥ 2 tối đại → KHÔNG TỒN TẠI phần tử lớn nhất!

📋 Template trình bày chuẩn

=== Câu 5: Quan hệ thứ tự & Hasse ===

[1] KIỂM TRA TÍNH CHẤT:
    (Phản xạ) ...
    (Phản xứng) ...
    (Bắc cầu) ...
    → R là quan hệ thứ tự [bán phần/toàn phần].

[2] LIỆT KÊ CÁC CẶP BAO PHỦ:
    Tìm tất cả (x, y) với x ≺ y:
    Loại bỏ cặp phản xạ (x,x) và cặp bắc cầu.
    Bao phủ: (a₁, b₁), (a₂, b₂), ...

[3] VẼ BIỂU ĐỒ HASSE:
    - Phần tử nhỏ hơn đặt bên dưới.
    - Nối dây thẳng giữa các cặp bao phủ.
    - Không vẽ mũi tên.

[4] XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỰC TRỊ:
    Tối tiểu: {...}    Tối đại: {...}
    Nhỏ nhất: .../không tồn tại
    Lớn nhất: .../không tồn tại

✏️ Ví dụ mẫu đầy đủ

📌

Đề bài

Cho $A = \{2, 3, 4, 6, 8, 12\}$ và quan hệ $R$: $aRb \Leftrightarrow a \mid b$.
a) Chứng minh $R$ là quan hệ thứ tự bán phần trên $A$.
b) Vẽ biểu đồ Hasse. c) Tìm các phần tử tối tiểu, tối đại, min, max.

Bài giải chuẩn

[1] Phản xạ: $a \mid a$ với mọi $a \in A$ ✓Phản xạ

[2] Phản xứng: Nếu $a \mid b$ và $b \mid a$ thì $a = b$ (với số tự nhiên dương) ✓Phản xứng

[3] Bắc cầu: $a \mid b$ và $b \mid c$ thì $a \mid c$ ✓Bắc cầu

→ R là thứ tự bán phần trên A □Kết luận

[4] Các cặp bao phủ: $(2,4), (2,6), (3,6), (4,8), (4,12), (6,12), (3,12)$ — kiểm tra kỹ $(3,12)$: có $3|12$, nhưng $3|6$ và $6|12$ nên $(3,12)$ là bắc cầu → loại!Lọc bao phủ

Bao phủ thực sự: $(2,4), (2,6), (3,6), (4,8), (4,12), (6,12)$Kết quả

Tối tiểu: $\{2, 3\}$ (không có phần tử nào chia hết $2$ hoặc $3$ trong $A$)Cực trị

Tối đại: $\{8, 12\}$ (không chia hết ra phần tử nào khác trong $A$)Cực trị

Nhỏ nhất: Không tồn tại (có 2 phần tử tối tiểu)Min

Lớn nhất: Không tồn tại (có 2 phần tử tối đại)Max

TrướcCâu 4 — Quan hệ tương đương

Tiếp theoPhụ lục & Checklist

Quan hệ Thứ tự& Biểu đồ Hasse