📎 Phụ lục
Bộ Template & Checklist
Cứu sinh đi thi
Bảng tra nhanh tất cả công thức, checklist 5 điểm trước khi nộp bài, và bẫy thường gặp kinh điển.
🗂 Bảng tra nhanh công thức
11+ Luật logic quan trọng nhất
| Tên luật | Công thức |
|---|---|
| De Morgan | $\lnot(p\land q)\Leftrightarrow\lnot p\lor\lnot q$ | $\lnot(p\lor q)\Leftrightarrow\lnot p\land\lnot q$ |
| Kéo theo | $p\rightarrow q\Leftrightarrow\lnot p\lor q$ |
| Tương đương | $p\leftrightarrow q\Leftrightarrow(p\rightarrow q)\land(q\rightarrow p)$ |
| Phủ định kép | $\lnot\lnot p\Leftrightarrow p$ |
| Phần tử bù | $p\land\lnot p\Leftrightarrow\mathbf{F}$ | $p\lor\lnot p\Leftrightarrow\mathbf{T}$ |
| Lũy đẳng | $p\land p\Leftrightarrow p$ | $p\lor p\Leftrightarrow p$ |
| Thống trị | $p\land\mathbf{F}\Leftrightarrow\mathbf{F}$ | $p\lor\mathbf{T}\Leftrightarrow\mathbf{T}$ |
| Trung hòa | $p\land\mathbf{T}\Leftrightarrow p$ | $p\lor\mathbf{F}\Leftrightarrow p$ |
| Hấp thụ | $p\land(p\lor q)\Leftrightarrow p$ | $p\lor(p\land q)\Leftrightarrow p$ |
| Phân phối | $p\land(q\lor r)\Leftrightarrow(p\land q)\lor(p\land r)$ |
6 Quy tắc suy diễn
| Tên | Ký hiệu | Dạng |
|---|---|---|
| Modus Ponens | MP | $p,\; p\rightarrow q \;\vdash\; q$ |
| Modus Tollens | MT | $\lnot q,\; p\rightarrow q \;\vdash\; \lnot p$ |
| Tam đoạn Giả thiết | HS | $p\rightarrow q,\; q\rightarrow r \;\vdash\; p\rightarrow r$ |
| Tam đoạn Rời | DS | $p\lor q,\; \lnot p \;\vdash\; q$ |
| Thêm vào | Add | $p \;\vdash\; p\lor q$ |
| Đơn giản hóa | Simp | $p\land q \;\vdash\; p$ |
Phủ định lượng từ
$\lnot\forall x\,P(x)\Leftrightarrow\exists x\,\lnot P(x)$ | $\lnot\exists x\,P(x)\Leftrightarrow\forall x\,\lnot P(x)$
Dạng cơ bản
$n$ vật, $k$ hộp, $n>k$
→ ≥1 hộp chứa ≥2 vật
→ ≥1 hộp chứa ≥2 vật
Tối thiểu để có $m$ vật/hộp
$$n_{\min} = k(m-1)+1$$
Số vật tối thiểu trong hộp "đông nhất"
$$\left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$$
Khi chia $n$ vật vào $k$ hộp, số vật trong hộp nhiều nhất tối thiểu là $\lceil n/k \rceil$
Nhớ nhanh
Vật = đối tượng đếm (người, số,...) | Lồng = tiêu chí phân loại (quê, tháng, số dư,...)
Công thức: Vật phải $> k(m-1)$ để đảm bảo có hộp $\geq m$ vật.
Công thức: Vật phải $> k(m-1)$ để đảm bảo có hộp $\geq m$ vật.
Tổ hợp lặp chính
$$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = C_{n+k-1}^{n-1}$$
Số nghiệm nguyên không âm của $x_1 + \cdots + x_n = k$
Kỹ thuật xử lý điều kiện
| Điều kiện | Kỹ thuật | Đặt ẩn phụ |
|---|---|---|
| $x_i \geq 0$ (cơ bản) | Trực tiếp | Không cần |
| $x_i \geq a_i$ | Đặt ẩn phụ | $y_i = x_i - a_i$, mới: $\sum y_i = k - \sum a_i$ |
| $x_i \leq b_i$ | Bổ sung ($N - N_{\text{vp}}$) | Vi phạm: $x_i \geq b_i+1$, đặt $y_i = x_i - (b_i+1)$ |
| Tính chất | Định nghĩa | Tương đương | Thứ tự |
|---|---|---|---|
| Phản xạ | $\forall x: xRx$ | ✅ | ✅ |
| Đối xứng | $xRy \Rightarrow yRx$ | ✅ | ❌ |
| Phản xứng | $xRy \land yRx \Rightarrow x=y$ | ❌ | ✅ |
| Bắc cầu | $xRy \land yRz \Rightarrow xRz$ | ✅ | ✅ |
Phần tử cực trị trên Hasse
| Tên | Vị trí trên Hasse | Có thể nhiều? |
|---|---|---|
| Tối tiểu | Dưới cùng, không ai bên dưới | Có thể ≥2 |
| Tối đại | Trên cùng, không ai bên trên | Có thể ≥2 |
| Nhỏ nhất (Min) | Duy nhất 1, là tối tiểu duy nhất | Tối đa 1 |
| Lớn nhất (Max) | Duy nhất 1, là tối đại duy nhất | Tối đa 1 |
✅ Checklist 5 điểm trước khi nộp bài
Click vào mỗi mục để đánh dấu đã kiểm tra (lưu tự động).
- [Câu 1 - Logic] Mỗi bước biến đổi ký hiệu $\Leftrightarrow$ (không phải $=$) và có tên luật ở lề phải.
- [Câu 1 - Logic] Nếu CM hằng đúng: có kết luận "Vậy biểu thức là hằng đúng ✓" ở cuối.
- [Câu 1 - Suy diễn] Các tiền đề đánh số (1)(2)(3)..., bước suy diễn ghi rõ "Từ (i)(j), quy tắc..."
- [Câu 1 - Vị từ] Phủ định lượng từ đổi đúng chiều $\forall \leftrightarrow \exists$ và phủ định vị từ.
- [Câu 2 - Dirichlet] Gọi tên rõ "vật" là gì, "lồng" là gì, và số lượng cụ thể $n, k, m$.
- [Câu 2 - Dirichlet] Có câu kết luận "Theo nguyên lý chuồng bồ câu, tồn tại ít nhất..."
- [Câu 3 - Tổ hợp lặp] Xác định đúng $n$ (số loại/biến) và $k$ (tổng/số lần chọn).
- [Câu 3 - Tổ hợp lặp] Có điều kiện $x_i \geq a$: đặt ẩn phụ $y_i = x_i - a$, cập nhật tổng $k'$.
- [Câu 4 - Tương đương] Kiểm tra đủ 3 tính chất: Phản xạ, Đối xứng, Bắc cầu.
- [Câu 4 - Tương đương] Tổng số phần tử tất cả lớp tương đương = $|X|$ (kiểm tra phân hoạch).
- [Câu 5 - Hasse] Kiểm tra đủ 3 tính chất: Phản xạ, Phản xứng, Bắc cầu (không phải Đối xứng!).
- [Câu 5 - Hasse] Liệt kê các cặp bao phủ, loại bỏ cạnh bắc cầu dư thừa trước khi vẽ.
- [Câu 5 - Hasse] Hasse không có mũi tên, phần tử lớn hơn ở trên cao hơn.
- [Câu 5 - Cực trị] Nếu có ≥2 tối đại → ghi rõ "Không tồn tại phần tử lớn nhất".
- [Tổng quát] Mỗi bài có câu kết luận cuối với ký hiệu □ hoặc ■.
💀 15 Bẫy kinh điển hay bị trừ điểm
Bẫy Logic
- ❌ Dùng $=$ thay $\Leftrightarrow$ trong biến đổi logic
- ❌ Phủ định $\forall x P(x)$ thành $\forall x \lnot P(x)$
- ❌ Quên khử $\leftrightarrow$ trước $\rightarrow$
- ❌ Áp De Morgan sai: $\lnot(p\lor q) \neq \lnot p \lor \lnot q$
- ❌ Suy diễn: không ghi nguồn gốc từng bước
Bẫy Dirichlet & Tổ hợp
- ❌ Nhầm "vật" và "lồng" trong Dirichlet
- ❌ Dùng $C_n^k$ thay $\bar{C}_n^k$ cho tổ hợp lặp
- ❌ Quên đặt ẩn phụ khi có ràng buộc $x_i \geq a$
- ❌ Không cập nhật $k' = k - \sum a_i$ sau đặt ẩn
- ❌ Quên trừ nghiệm vi phạm khi có $x_i \leq b$
Bẫy Quan hệ
- ❌ Kiểm tra thứ tự mà dùng tính đối xứng (phải dùng phản xứng!)
- ❌ Quên kiểm tra $|X|$ sau khi liệt kê lớp tương đương
- ❌ Vẽ Hasse có cạnh bắc cầu dư thừa
- ❌ Nhầm "tối đại" (≥2 có thể) với "lớn nhất" (nhiều nhất 1)
- ❌ Vẽ mũi tên trên biểu đồ Hasse
Các quy tắc vàng
- ✅ Mỗi bước 1 dòng, có tên quy tắc
- ✅ Mọi bài đều có câu kết luận □
- ✅ Kiểm tra kết quả bằng phép tính thử
- ✅ Viết rõ định nghĩa trước khi chứng minh
- ✅ Hasse: phần tử nhỏ hơn luôn bên dưới
📝 Đề mẫu tự luyện
Đề mẫu tổng hợp — 10 điểm
Giải không nhìn sách để tự kiểm tra
Câu 1 (4đ): Chứng minh $(p \rightarrow q) \land (\lnot q) \Rightarrow \lnot p$ bằng quy tắc suy diễn.
Nếu $\forall x \in \mathbb{Z}$: "$x$ chẵn thì $x^2$ chẵn", viết phủ định.
Câu 2 (1đ): Lớp có 32 sinh viên, sinh trong 12 tháng. Cần tối thiểu bao nhiêu sinh viên để chắc chắn có 4 bạn sinh cùng tháng?
Câu 3 (1đ): Tìm số nguyên không âm của $x_1+x_2+x_3+x_4 = 12$ với $x_1 \geq 2, x_2 \geq 1$.
Câu 4 (2đ): Cho $A=\{1,...,9\}$, $aRb\Leftrightarrow a\equiv b\pmod 4$. Chứng minh R là quan hệ tương đương và tìm phân hoạch.
Câu 5 (2đ): Cho $B=\{1,2,3,6\}$ và $aRb\Leftrightarrow a\mid b$. Kiểm tra R là thứ tự thứ tự bán phần, vẽ Hasse, tìm tối tiểu, tối đại, min, max.
Nếu $\forall x \in \mathbb{Z}$: "$x$ chẵn thì $x^2$ chẵn", viết phủ định.
Câu 2 (1đ): Lớp có 32 sinh viên, sinh trong 12 tháng. Cần tối thiểu bao nhiêu sinh viên để chắc chắn có 4 bạn sinh cùng tháng?
Câu 3 (1đ): Tìm số nguyên không âm của $x_1+x_2+x_3+x_4 = 12$ với $x_1 \geq 2, x_2 \geq 1$.
Câu 4 (2đ): Cho $A=\{1,...,9\}$, $aRb\Leftrightarrow a\equiv b\pmod 4$. Chứng minh R là quan hệ tương đương và tìm phân hoạch.
Câu 5 (2đ): Cho $B=\{1,2,3,6\}$ và $aRb\Leftrightarrow a\mid b$. Kiểm tra R là thứ tự thứ tự bán phần, vẽ Hasse, tìm tối tiểu, tối đại, min, max.
Đáp án gợi ý
Câu 2: $n = 12(4-1)+1 = 37$ sinh viên. | Câu 3: $\bar{C}_4^9 = C_{12}^9 = C_{12}^3 = 220$. | Câu 4: Lớp $[1]=\{1,5,9\}, [2]=\{2,6\}, [3]=\{3,7\}, [0]=\{4,8\}$.